Question

10．已知a＞0，b＞0，且a+b=7，則代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+{a^2}}+\sqrt{{{（11-x）}^2}+{b^2}}$的最小值為$\sqrt{170}$．

Answer 1

分析 由題意可知代數(shù)式的值即P（x，0）到A（0，a）和B（11，b）的距離之和，作出A關于x軸的對稱點A′，顯然當P為“x軸與線段A′B交點”時，PA+PB=A′B最短．

解答 解：如圖所示：設A（0，a），B（11，b），P點坐標為P（x，0），
則PA=$\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}}$，PB=$\sqrt{（11-x）^{2}+^{2}}$，
$\sqrt{{x^2}+{a^2}}+\sqrt{{{（11-x）}^2}+{b^2}}$的最小值就是PA+PB的最小值，
∵PA+PB的最小值為：$\sqrt{1{1}^{2}+（a+b）^{2}}$=$\sqrt{1{1}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{170}$，
∴代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+{a^2}}+\sqrt{{{（11-x）}^2}+{b^2}}$的最小值為$\sqrt{170}$．
故答案為$\sqrt{170}$．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，兩點之間線段最短是解題的關鍵．