Question

7．如圖，直線AB經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)M，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A（1，8）和B（m，n），其中m＞1，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC與BD交于點(diǎn)P．
（1）求k的值；
（2）若AB=2BM，求△ABD的面積；
（3）若四邊形ABCD為菱形，求直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；
（2）由平行線分線段成比例可求得AP與AC的比例，從而可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得BD的長(zhǎng)，利用三角形面積公式可求得△ABD的面積；
（3）由菱形的性質(zhì)可用B點(diǎn)坐標(biāo)表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合PA=PC可求得m、n的值，即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式．

解答 解：
（1）把A（1，8）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=8；
（2）∵A（1，8），B（m，n），
∴AP=8-n，AC=8，
∵AB=2BM，
∴$\frac{AB}{AM}$=$\frac{2}{3}$，
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴BP∥CM，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AB}{AM}$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{8-n}{8}$=$\frac{2}{3}$，解得n=$\frac{8}{3}$，
把B（m，$\frac{8}{3}$）代入反比例函數(shù)解析式可得m=3，
∴BD=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AP=$\frac{1}{2}$×3×（8-$\frac{8}{3}$）=8；
（3）∵四邊形ABCD為菱形，
∴BP=DP，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$m，n），
∵PA=PC，
∴P（1，4），
∴$\frac{1}{2}$m=1，n=4，
∴m=2，n=4，
∴B（2，4），
設(shè)直線AB解析式為y=sx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{8=k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-4x+12．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行線分線段成比例、菱形的性質(zhì)、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）、（3）中求得B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．