Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且cosα=$\frac{4}{5}$．下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD=6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是①②④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得∠B=∠ADE=∠C，于是可判斷△ADE∽△ACD；在Rt△ABH中，利用三角函數(shù)的定義可計算出BH=8，則BC=2BH=16，所以當(dāng)BD=6，則CD=10=AB，再證明∠EDC=∠BAD，則可判斷△ABD≌△DCE；先證明△ABD∽△DCE，分類討論：當(dāng)∠DEC=90°，則∠ADB=90°，可得BD為8；當(dāng)∠EDC=90°，則∠BAD=90°，根據(jù)三角函數(shù)定義可得BD=$\frac{AB}{cosα}$=$\frac{25}{2}$；設(shè)BD=x，則CD=16-x，由△ABD∽△DCE，利用相似比可得CE=-$\frac{1}{10}$（x-8）²+6.4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得CE的最大值為6.4，于是有0＜CE≤6.4．

解答 解：作AH⊥BC于H，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α，BH=CH，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正確；
在Rt△ABH中，cosB=$\frac{BH}{AB}$，
∴BH=10×$\frac{4}{5}$=8，
∴BC=2BH=16，
當(dāng)BD=6，則CD=10，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠EDC=∠BAD，
在△ABD與△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{AB=DC}\\{∠BAD=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE，所以②正確；
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
△DCE為直角三角形，當(dāng)∠DEC=90°，則∠ADB=90°，BD為8；當(dāng)∠EDC=90°，則∠BAD=90°，BD=$\frac{AB}{cosα}$=$\frac{25}{2}$，所以③錯誤；
設(shè)BD=x，則CD=16-x，
由△ABD∽△DCE得$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{DC}$，即$\frac{x}{CE}$=$\frac{10}{10-x}$，
∴CE=-$\frac{1}{10}$（x-8）²+6.4，
∴CE的最大值為6.4，
∴0＜CE≤6.4，所以④正確．
故答案為①②④．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合．