Question

17．如圖，點P在正方形ABCD內(nèi)，△PBC是正三角形，連接AP、AC，過點P作BC的垂線交AC于點E，若AP=1，則PE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作PF⊥AE于F．首先證明AP=AE=1，∠PAE=30°，求出PF，EF，利用勾股定理計算即可

解答 解：如圖，作PF⊥AE于F．

∵四邊形ABCD是正方形，△PBC是等邊三角形，
∴∠ABC=90°，∠PBC=60°，AB=BP=BC，∠BAC=45°
∴∠ABP=30°，∠BAP=∠BPA=75°，
∴∠PAE=30°，∠APE=∠AEP=75°，
∴AP=AE=1，PF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PE=$\sqrt{P{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．