Question

12．如圖，拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，且BO=OC=3AO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點C的坐標，在由BO=OC=3AO，確定出點B，A的坐標，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）設(shè)出點P的坐標，表示出PB，PC，求出BC，分三種情況利用兩邊相等建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3，
∴c=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（-1，0），
∵該拋物線與x軸交于A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-3=0}\\{a-b-3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
（2）存在，
理由：設(shè)P（1，m），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，PC=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∵△PBC是等腰三角形，
①當PB=PC時，
∴$\sqrt{{m}^{2}+4}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-1，
∴P（1，-1），
②當PB=BC時，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴m=±$\sqrt{14}$，
∴P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$），
③當PC=BC時，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-3±$\sqrt{17}$，
∴P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$），
∴符合條件的P點坐標為P（1，-1）或P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$）或P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問題．