Question

17．在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG．
（1）如圖1，請(qǐng)判斷EG和CG的關(guān)系，并證明．
（2）將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得點(diǎn)F落在DC延長(zhǎng)線上，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖2，
請(qǐng)判斷EG和CG的關(guān)系，并證明．
（3）將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，如圖3，請(qǐng)判斷EG和CG的關(guān)系，不用證明．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BD于G交CD于H，通過(guò)條件證明△HGE≌△ICG，就可以得出結(jié)論EG=CG，EG⊥CG；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交BC于點(diǎn)H，易證出△EHB≌△EGF，即可得出EG=CG，EG⊥CG；
（3）特殊情況，如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作EM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，易證出△EHF≌△BME，再證出△GHE≌△CDG即可得出結(jié)論．
一般情況，如圖4，過(guò)F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過(guò)F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，再判斷出∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，易得△MEC是等腰直角三角形，即可得出EG=CG，EG⊥CG．

解答 證明：（1）EG=CG，且EG⊥CG．
如圖，過(guò)GH⊥AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HG交CD于點(diǎn)I，作GK⊥AD于點(diǎn)K．

則四邊形GIDK是正方形，四邊形AKGH是矩形，
∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中點(diǎn)，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，
$\left\{\begin{array}{l}{HE=GI}\\{∠GHE=∠CIG}\\{HG=IC}\end{array}\right.$，
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；
（2）EG=CG，且EG⊥CG．
如圖2，

連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BD于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠BME=90°，
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴BD=$\sqrt{2}$BC，∠CBD=45°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠EBF=45°，
∴∠EBM=∠CBF，
∵∠BME=∠BCF=90°，
∴△BME∽△BCF，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{BE}{BF}$，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$BE，
∴BC=$\sqrt{2}$BM，
∴BD=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$BM=2BM，
∴BM=DM，
∵EM⊥BD，
∴BE=DE，
∵BE=EF，
∴DE=EF，
∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，
∴EG⊥CG
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交BC于點(diǎn)H，
∴HE⊥EG，
∵∠BEH+∠HEF=90°，∠FEG+∠HEF=90°，
∴∠BEH=∠FEG，
在△EHB和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHB=∠EGF}\\{∠BEH=∠FEG}\\{BE=FE}\end{array}\right.$，
∴△EHB≌△EGF（AAS），
∴EH=EG，
∴四邊形EHCG是正方形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；
方法2、如圖，

延長(zhǎng)EG至M使GM=GE，連接DE，DM，F(xiàn)M，CE，
∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，
∴DG=FG，
∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴DM=EF，∠CDM=∠CFE，
∵∠CFE+∠CNF=90°，
∴∠CDM+∠CNF=90°，
∵∠CNF=∠BNE，
∴∠CDM+∠BNE=90°，
∵∠EBN+∠BNE=90°，
∴∠CBE=∠CDM，
∵BE=EF，
∴BE=DM，
在△CBE和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=DM}\\{∠CBE=∠CDM}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDM，
∴CE=CM，
∵GE=GM，
∴△ECM是等腰三角形，
∴CG⊥EG，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交BC于點(diǎn)H，
∴HE⊥EG，
∵∠BEH+∠HEF=90°，∠FEG+∠HEF=90°，
∴∠BEH=∠FEG，
在△EHB和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHB=∠EGF}\\{∠BEH=∠FEG}\\{BE=FE}\end{array}\right.$，
∴△EHB≌△EGF（AAS），
∴EH=EG，
∴四邊形EHCG是正方形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；


（3）EG=CG，且EG⊥CG．
特殊情況，如圖3，如果旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F落在AD上時(shí)，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作EM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵∠HEF+∠MEB=90°，∠EBM+∠MEB=90°，
∴∠HEF=∠EBM，
在△EHF和△BME，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠M}\\{∠HEF=∠EBM}\\{EF=BE}\end{array}\right.$
∴△EHF≌△BME（AAS），
∴HE=BM，ME=HF，
∵AF+DF=ME+EH，即AF+DF=AF+2HE，且點(diǎn)G是FD的中點(diǎn)，
∴HE=DG，
∴HF+FG=AD=CD，
在△GHE和△CDG，
$\left\{\begin{array}{l}{HE=GD}\\{∠H=∠GDC}\\{HG=CD}\end{array}\right.$
∴△GHE≌△CDG（SAS），
∴EG=CG，且EG⊥CG．

一般情況，如圖4，
過(guò)F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過(guò)F作FN垂直于AB于N．記EF交AB于P，
∴∠MFN=90°，
∵G為FD中點(diǎn)，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
∵BC=CD，
∴BC=FM，
∵∠BNF=∠ABC=90°，∠BPE=∠FPN，
∴∠ABE=∠EFN，
∴∠ABE+∠ABC=∠EFN+∠MFN，
∴∠EBC=∠EFM，
∵BE=EF
∴△EFM≌△EBC，
∴∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G為CM中點(diǎn)，
∴EG=CG，EG⊥CG．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四邊形綜合題，涉及三角形全等的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形全等．