Question

6．已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根恰好是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)，且k=4，求該矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出△＞0，再解不等式即可，
（2）當(dāng)k=4時(shí)，原方程x²-5x+5=0，設(shè)方程的兩根是x₁、x₂，則矩形兩鄰邊的長(zhǎng)是x₁、x₂，求出x₁²+x₂²，再根據(jù)勾股定理即可得出該矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
∴[-（k+1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）＞0，
解得k＞$\frac{3}{2}$．
則k的取值范圍是k＞$\frac{3}{2}$．
（2）當(dāng)k=4時(shí)，原方程x²-5x+5=0，
設(shè)方程的兩根是x₁、x₂，則矩形兩鄰邊的長(zhǎng)是x₁、x₂，
∵x₁+x₂=5，
x₁x₂=5，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=15，
∴該矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．