Question

17．在平面直角坐標系xOy中，對于半徑為r（r＞0）的⊙O和點P，給出如下定義：
若r≤PO≤$\frac{3}{2}$r，則稱P為⊙O的“近外點”．?

（1）當⊙O的半徑為2時，點A（4，0），B （-$\frac{5}{2}$，0），C（0，3），D （1，-1）中，⊙O的“近外點”是B，C；
（2）若點E（3，4）是⊙O的“近外點”，求⊙O的半徑r的取值范圍；
（3）當⊙O 的半徑為2時，直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b（b≠0）與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在⊙O的“近外點”，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出$\frac{3}{2}$r=3，再分別求出OA，OB，OC，OD，再判斷即可得出結論；
（2）先求出OE，用圓的“近外點”滿足的條件建立不等式組求解即可；
（3）先判斷出直線MN中OM＞ON，進而得出點M和點G是圓O的“近外點”的分界點，再分兩種情況討論計算．

解答 解：（1）∵⊙O的半徑為2，
∴$\frac{3}{2}$r=3，
∵A（4，0），
∴OA=4＞3，
∴點A不是⊙O的“近外點”，
B （-$\frac{5}{2}$，0），
∴OB=$\frac{5}{2}$，而2＜$\frac{5}{2}$＜3，
∴B是⊙O的“近外點”，
C（0，3），
∴OC=3，
∴點C是⊙O的“近外點”，
D （1，-1），
∴OD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$＜2，
∴點D不是⊙O的“近外點”，
故答案為：B，C；
（2）∵E（3，4），
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵點E是⊙O的“近外點”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{r≤5}\\{\frac{3}{2}r≥5}\end{array}\right.$，
∴$\frac{10}{3}$≤r≤5；

（3）如圖，
∵直線MN的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴OM＞ON，
①點N在y軸坐標軸時，
當點M是⊙O的“近外點”，此時，點M（-2，0），
將M（-2，0）代入直線MN的解析式y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b中，解得，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即：b的最小值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
過點O作OG⊥M'N'于G，
當點G是⊙O的“近外點”時，此時OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=60°，
∴ON'=$\frac{OC}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
b的最大值為2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤b≤2$\sqrt{3}$，
②當點N在y軸負半軸時，同①的方法得出，-2$\sqrt{3}$≤b≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}≤b≤2\sqrt{3}或-2\sqrt{3}≤b≤-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，點到原點的距離的確定，解（2）的關鍵是利用圓O的“近外點”建立不等式組，解（3）的關鍵是找出線段MN上的點是圓O的“近外點”的分界點，是一道中等難度的題目．