Question

6．在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長線上，且CE=CD，點(diǎn)F為DE邊上一點(diǎn)，連接AF，作FG⊥AF交直線DC于點(diǎn)G
（1）如圖1，連接AG，若DF=EF時(shí)，判斷△AFG的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，若DF≠EF時(shí)．試探究線段AD，DF，DG三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先判斷出，∠ADF=∠GCF，進(jìn)而得出，△ADF≌△GCF即可得出結(jié)論；
（2）構(gòu)造全等三角形，同（1）的方法判斷出，△ADF≌△GHF，再出AD=HG最后用等量代換即可．

解答 解：（1）等腰直角三角形，理由如下：
如圖1，連接CF，
在Rt△CDE中，CE=CD，DF=EF，
∴CF=DF=EF，∠ECF=∠CDE=45°，
∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=135°，∠FCG=∠GCE+∠ECF=135°，
∴∠ADF=∠GCF，
∵AF⊥FG，HF⊥DE，
∴∠AFG=∠DFH=90，
∴∠AFD=∠GFH
在△ADF和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CGF}\\{∠AFD=∠GFC}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AF=FG，
∵∠AFG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形．

（2）DG=AD+$\sqrt{2}$DF；
理由：如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥DE，
由（1）知，∠CDE=45°，
∴DH=$\sqrt{2}$DF，DF=HF，∠DHF=45°，
同（1）的方法得出∠ADF=∠GHF
在△ADF和△GHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠HGF}\\{∠ADF=∠GHF}\\{DF=HF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GHF（AAS），
∴AD=HG，
∴DG=DH+HG=$\sqrt{2}$DF+AD．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是，△ADF≌△GHF．