Question

9．在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸交于點A，二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過點A．
（1）當m=4時，求n的值；
（2）設m=-2，當-3≤x≤0時，求二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值；
（3）當-3≤x≤0時，若二次函數(shù)-3≤x≤0時的最小值為-4，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出n=3m-9，代入m=4可求出n值；
（2）由m=-2可求出拋物線對稱軸為x=1、n=-15，由當-3≤x≤0時，y隨x的增大而減小，即可得出此時二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值；
（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象以及y在-3≤x≤0時的最小值為-4，即可求出m、n的值．

解答 解：（1）當y=x+3=0時，x=-3，
∴點A的坐標為（-3，0）．
∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過點A，
∴0=9-3m+n，即n=3m-9，
∴當m=4時，n=3m-9=3．
（2）拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{m}{2}$，
當m=-2時，對稱軸為x=1，n=3m-9=-15，
∴當-3≤x≤0時，y隨x的增大而減小，
∴當x=0時，二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值為-15．
（3）①當對稱軸-$\frac{m}{2}$≤-3，即m≥6時，如圖1所示．
在-3≤x≤0中，y=x²+mx+n的最小值為0，
∴此情況不合題意；
②當-3＜-$\frac{m}{2}$＜0，即0＜m＜6時，如圖2，
有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n-{m}^{2}}{4n}=-4}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=21}\end{array}\right.$（舍去），
∴m=2、n=-3；
③當-$\frac{m}{2}$≥0，即m≤0時，如圖3，
有$\left\{\begin{array}{l}{n=-4}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{3}}\\{n=-4}\end{array}\right.$（舍去）．
綜上所述：m=2，n=-3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出n=3m-9；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出：當x=0時，二次函數(shù)y=x²+mx+n取得最小值；（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三種情況考慮．