Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于E，連接BC，CD，AD．
（1）求證：∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BAD；
（2）若$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，求cos∠CBA的值．

Answer 1

分析 （1）先由切線的性質(zhì)得出∠OCE=90°，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可得出∠ACO=∠BCE，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出OE是△ABD的中位線，即：OD=$\frac{1}{2}$AD=a，再用勾股定理建立方程得出R=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接OC，AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°，
∴∠BCE=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ACO=∠BCE，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BAD，
（2）設(shè)CD=a，
∴AD=2a，
如圖2，連接BD，OC，AC
∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴BC=CD=a，OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴OE∥AD，
∵OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=a，
設(shè)OB=OA=R，
在Rt△BCE中，BE²=a²-（R-a）²，
在Rt△OBE中，BE²=R²-a²，
∴a²-（R-a）²=R²-a²，
∴R=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$a（舍）或R=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△ABC中，cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{2R}$=$\frac{a}{（1+\sqrt{3}）a}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解（1）的關(guān)鍵是得出∠BCE=∠ACO，解（2）的關(guān)鍵是用a表示出R，是一道基礎(chǔ)題．