Question

20．如圖，已知直線l₁：y=-3x+3與直線l₂：y=mx-4m的圖象的交點(diǎn)C在第四象限，且點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為2．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）在第一象限的角平分線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，O為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線直線l₁解析式可滶得C點(diǎn)坐標(biāo)，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l₂解析式可求得m的值，則可求得直線l₂的解析式；
（2）作第一象限的角平分線OM，分∠PAO=90°和∠APO=90°，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在直線y=-3x+3中，當(dāng)x=2時(shí)，y=-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-3），
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l₂的解析式可得2m-4m=-3，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴直線l₂的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-6；
（2）存在．
如圖1，作第一象限的角平分線OM，則∠MOA=45°，點(diǎn)P在OM上，
∴以點(diǎn)P、A、O為頂點(diǎn)的直角三角形分兩種情況：
①當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，則有AO=PA，

∵直線l₂與x軸交于點(diǎn)A，
∴A（4，0），
∴PA=OA=4，
∴P（4，4）；
②當(dāng)∠APO=90°時(shí)，則有AP=PO，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，如圖2，

∴OH=$\frac{1}{2}$AO=2，
∵∠POH=45°，∠OHP=90°，
∴∠OPH=∠POH=45°，
∴PH=OH=2，
∴P（2，2）；
綜上可知在第一象限的角平分線上存在點(diǎn)P使得△PAO是直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（4，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、等腰直角三角形的性質(zhì)、分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．