Question

11．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連結(jié)ED，以PE、ED為鄰邊作?PEDF．設(shè)?PEDF與△ABC重疊部分圖形的面積為y，線段AP的長(zhǎng)為x（0＜x＜6）．
（1）求線段PE的長(zhǎng)．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)四邊形PEDF為菱形時(shí)，求x的值．
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A′，當(dāng)線段A′B的垂直平分線與直線AD相交時(shí)，設(shè)其交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q位于直線BC同側(cè)（不包括點(diǎn)Q在直線BC上）時(shí)，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明△APE是等邊三角形，即可求解；
（2）四邊形PEDF為菱形時(shí)，AE=DE，然后證明DE=EC即可得到E是AC的中點(diǎn)，則P是AB的中點(diǎn)，據(jù)此即可求解；
（3）當(dāng)x=3，即P是AB的中點(diǎn)時(shí)，PE=$\frac{1}{2}$BC，則F與B重合，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，重合部分就是平行四邊形PEDF，當(dāng)3＜x≤6時(shí)，重合部分是梯形PEDB，根據(jù)平行四邊形和梯形的面積公式即可求解；
（4）首先求得當(dāng)A'B的中垂線正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)x的值，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
又∵△ABC是等邊△，
∴△APE是等邊三角形，
∴PE=AP=x（0＜x＜6）；

（2）∵四邊形PEDF為菱形，
∴PE=DE=x，
又∵△APE是等邊三角形，則AE=PE，
∴AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴DE=EC=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=3．
即x=3；

（3）當(dāng)x=3，即P是AB的中點(diǎn)時(shí)，PE=$\frac{1}{2}$BC，則F與B重合．
則當(dāng)0＜x≤3時(shí)，重合部分就是平行四邊形PEDF，如圖1．
等邊△ABC中，AD=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，等邊△APE中，AM=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
則DM=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
則y=x（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+3$\sqrt{3}$x；
當(dāng)3＜x＜6時(shí)，重合部分是梯形PEDB，如圖2．
則y=$\frac{1}{2}$（PE+BD）•DM=$\frac{1}{2}$（x+3）•（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}$；

（4）情形一：當(dāng)A′在BC上方時(shí)，如圖3所示，
當(dāng)A′B的中垂線正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，A′D=BD=3，
則AA′=3$\sqrt{3}$-3．
則AM=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-3），
∴x=AP=$\frac{\frac{1}{2}（3\sqrt{3}-3）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3-$\sqrt{3}$．
則x的取值范圍是：0＜x＜3-$\sqrt{3}$．
情形二：當(dāng)A′在BC上時(shí)，PQ∥AD，如圖4所示，
AP=A′P=BP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3．
情形三：當(dāng)A′在BC下方時(shí)，如圖5所示，
當(dāng)A′B的中垂線正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，A′D=BD=3，
則AA′=3$\sqrt{3}$+3．
則AM=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+3），
∴x=AP=$\frac{\frac{1}{2}（3\sqrt{3}+3）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3+$\sqrt{3}$．
則x的取值范圍是：3＜x＜3+$\sqrt{3}$．
綜上所示，x的取值范圍為0＜x＜3-$\sqrt{3}$或3＜x＜3+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是等邊三角形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，求得F與B重合以及A'B的中垂線正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，兩種情況下t的值是關(guān)鍵．