Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，延長斜邊AB到點(diǎn)D，使BD=$\frac{AB}{2}$，連結(jié)DC．若tan∠ABC=2，則tan∠BCD的值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作BE⊥BC交CD于點(diǎn)E，由BD=$\frac{AB}{2}$設(shè)BD=x，則AB=2x，由tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=2設(shè)AC=2a，則BC=a，根據(jù)勾股定理可得a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，即AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，再證∴△DEB∽△DCA得$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BE}{\frac{4\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{x}{2x+x}$，從而得出BE=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$x，最后根據(jù)正切函數(shù)定義可得答案．

解答 解：如圖，作BE⊥BC，交CD于點(diǎn)E，

∵BD=$\frac{AB}{2}$，
∴設(shè)BD=x，則AB=2x，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=2，
∴設(shè)AC=2a，則BC=a，
∵AC²+BC²=AB²，即4a²+a²=4x²，
解得：a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x或a=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x（舍），
則AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∵AC⊥CB，
∴AC∥BE，
∴△DEB∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BE}{\frac{4\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{x}{2x+x}$，
∴BE=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$x，
∴tan∠BCD=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{15}x}{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目需要建立合適的直角三角形并表示出所需線段的長度是解題的關(guān)鍵．