Question

17．已知a+b=1，ab=1，設(shè)s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ．
（1）計算s₁=1；s₂=3；s₃=4；s₄=7；
（2）試寫出s_n-2，s_n-1，s_n三者之間的關(guān)系式S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）根據(jù)以上得出的結(jié)論，計算a¹⁰+b¹⁰．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式進(jìn)行化簡，然后代入a+b，ab的值，即可推出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，即可推出a¹⁰+b¹⁰=S₁₀=13S₄+8S₃．

解答 解：（1）∵s₁=a+b=1，S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=3；
∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），
∴3×1=a³+b³-1，
∴a³+b³=4，即S₃=4，
∵S₄=（a²+b²）²-2（ab）²=7，
∴S₄=7，
故答案為：1，3，4，7；

（2）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₂+S₃=S₄，
∴S_n-2+S_n-1=S_n，
故答案為：S_n-2+S_n-1=S_n；

（3）∵S_n-2+S_n-1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴a¹⁰+b¹⁰=S₁₀=13S₄+8S₃=123．

點評 本題主要考查整式的混合運算、完全平方公式的運用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出S₂=3，S₃=4，S₄=7，分析歸納出規(guī)律：S_n-2+S_n-1=S_n．