Question

14．如圖，直線y=kx-6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)B，且兩直線交于點(diǎn)C．
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）若點(diǎn)P（0，m）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PC的值最小時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx-6可求出k的值；
（2）通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=-3x+3}\end{array}\right.$得C點(diǎn)坐標(biāo)，再確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，則D（-1，0），連結(jié)CD交y軸于P點(diǎn)，連結(jié)PB，由于PB=PD，則PB+PC=PD+PC=CD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到此時(shí)PB+PC的值最小，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到m的值．

解答 解：（1）把A（4，0）代入y=kx-6得4k-6=0，解得k=$\frac{3}{2}$；
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=-3x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），
當(dāng)y=0時(shí)，-3x+3=0，解得x=1，則B（1，0），
所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×（4-1）×3=$\frac{9}{2}$；
（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，則D（-1，0），
連結(jié)CD交y軸于P點(diǎn)，連結(jié)PB，
由于PB=PD，則PB+PC=PD+PC=CD．所以此時(shí)PB+PC的值最小，
設(shè)直線CD的解析式為y=ax+b，
把C（2，-3），D（-1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-3}\\{-a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以直線CD的解析式為y=-x-1，
把P（0，m）代入得m=0-1=-1，
即m的值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩直線相交或平行問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了最短路徑問(wèn)題．