Question

3．如圖，直線y=2x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A點(diǎn)，B（2，0），連AB交雙曲線于D點(diǎn)，且AD=BD，則k=$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 過A作AQ⊥y軸于Q，AM⊥x軸于M，過D作DN⊥x軸于N，根據(jù)已知得出BN=NM，DN=$\frac{1}{2}$AM，設(shè)A（m，n），D（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出2m=a，從而證得OM=$\frac{1}{3}$OB=$\frac{2}{3}$，求得A的橫坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式得出A的坐標(biāo)，即可求得k的值．

解答 解：過A作AQ⊥y軸于Q，AM⊥x軸于M，過D作DN⊥x軸于N，
則AM∥DN，
∵AD=BD，
∴BN=NM，DN=$\frac{1}{2}$AM，
∵B（2，0），
設(shè)A（m，n），D（a，b）
∵A、D都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴mn=ab，
∵D的縱坐標(biāo)為b=$\frac{1}{2}$n，
∴2m=a，
即OM=MN，
∴OM=MN=BN，
∴OM=$\frac{1}{3}$OB=$\frac{2}{3}$，
把x=$\frac{2}{3}$代入y=2x，得y=$\frac{4}{3}$，
∴k=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$．
故答案為：$\frac{8}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的中位線等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的分析能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．