Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）²+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，若直線MC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx-3，與x軸的交點(diǎn)為N，且cos∠BCO=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并在所給坐標(biāo)系中畫(huà)出該拋物線；
（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用一次函數(shù)y=kx-3求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用cos∠BCO=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式，并畫(huà)出圖象；
（3）分兩種情況討論：①N為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用直線MC和直線DN的解析式求出兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②C為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用兩個(gè)等腰直角三角形求出點(diǎn)A就是符合條件的點(diǎn)P．

解答 解：（1）在y=kx-3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴點(diǎn)C（0，-3），
（2）∵點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，結(jié)合題意知，點(diǎn)B在x軸的右半軸，連接BC，
在Rt△BOC中，∵cos∠BCO=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{3}{BC}$，
又∵cos∠BCO=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴BC=$\sqrt{10}$，
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{3}^{2}}$=1，
∴B（1，0），
∵點(diǎn)B（1，0）、C（0，-3）在拋物線y=a（x+1）²+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²-4=x²+2x-3，
拋物線如圖1所示；
（3）如圖2，存在，
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，則可能有下面兩種情況：
①若PN為另一條直角邊，則點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作直線MN的垂線，交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)P，
∵點(diǎn)M（-1，-4）在直線MC上，
∴-4=-k-3，即k=1，
∴直線MC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3，
當(dāng)y=0時(shí)得x=3，∴N（3，0），
∵OC=ON=3，
∴∠CNO=45°，
∴∠DNO=90°-45°=45°，
∴OD=ON=3，∴D（0，3），
設(shè)直線ND的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線ND的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3，
設(shè)P（x，-x+3），代入拋物線的解析式得：
-x+3=x²+2x-3，
∴x²+3x-6=0，
∴x₁=$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，x${x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$，
${y}_{1}=\frac{9-\sqrt{33}}{2}$，${y}_{2}=\frac{9+\sqrt{33}}{2}$
∴滿足條件的點(diǎn)為P₁（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}，\frac{9-\sqrt{33}}{2}$），P₂（$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$）；
②若PC是另一直角邊，則點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線CN的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，
∵點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，0），
連接AC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=45°，
又∠OCN=45°，
∴∠ACN=90°，
∴點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P，
∴P₃（-3，0），
綜上所述：在拋物線上存在滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)，分別是：
P₁（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$），P₂（$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$），P₃（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題前兩問(wèn)比較簡(jiǎn)單，結(jié)合圖象考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，并與一次函數(shù)和三角函數(shù)有機(jī)地結(jié)合；第三問(wèn)較為復(fù)雜，有分類討論的思想，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還考查了利用函數(shù)求與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；要注意利用函數(shù)的解析式來(lái)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，綜合性較強(qiáng)．