Question

2．如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，動點P在線段AC上以5cm/s的速度從點A運動到點C，過點P作PD⊥AB于點D，將△APD繞PD的中點旋轉(zhuǎn)180°得到△A′DP，設(shè)點P的運動時間為x（s）．
（1）當點A′落在邊BC上時，求x的值；
（2）在動點P從點A運動到點C過程中，當x為何值時，△A′BC是以A′B為腰的等腰三角形；
（3）如圖（2），另有一動點Q與點P同時出發(fā)，在線段BC上以5cm/s的速度從點B運動到點C，過點Q作QE⊥AB于點E，將△BQE繞QE的中點旋轉(zhuǎn)180°得到△B′EQ，連結(jié)A′B′，當直線A′B′與△ABC的一邊垂直時，求線段A′B′的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AC，證明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算；
（2）分A′B=BC、A′B=A′C兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念計算．

解答 解：（1）如圖1，∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，
當點A′落在邊BC上時，由題意得，四邊形APA′D為平行四邊形，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△APD∽△ABC，
∵AP=5x，
∴A′P=AD=4x，PC=4-5x，
∵∠A′PD=∠ADP，
∴A′P∥AB，
∴△A′PC∽△ABC，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{A′P}{AB}$，即$\frac{4-5x}{4}$=$\frac{4x}{5}$，
解得：x=$\frac{20}{41}$，
∴當點A′落在邊BC上時，x=$\frac{20}{41}$；
（2）當A′B=BC時，（5-8x）²+（3x）²=3²，
解得：$x=\frac{{40±12\sqrt{3}}}{73}$．
∵x≤$\frac{4}{5}$，
∴$x=\frac{{40-12\sqrt{3}}}{73}$；
當A′B=A′C時，x=$\frac{5}{8}$．
（3）Ⅰ、當A′B′⊥AB時，如圖6，
∴DH=PA'=AD，HE=B′Q=EB，
∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5，
∴x=$\frac{5}{14}$，
∴A′B′=QE-PD=x=$\frac{5}{14}$；
Ⅱ、當A′B′⊥BC時，如圖7，
∴B′E=5x，DE=5-7x，
∴cosB=$\frac{5x}{5-7x}=\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{15}{46}$，
∴A′B′=B′D-A′D=$\frac{25}{23}$；
Ⅲ、當A′B′⊥AC時，如圖8，
由（1）有，x=$\frac{20}{41}$，
∴A′B′=PA′sinA=$\frac{12}{41}$；
當A′B′⊥AB時，x=$\frac{5}{14}$，A′B′=$\frac{5}{14}$；
當A′B′⊥BC時，x=$\frac{15}{46}$，A′B′=$\frac{25}{23}$；
當A′B′⊥AC時，x=$\frac{20}{41}$，A′B′=$\frac{12}{41}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)的意義，分類討論，解本題的關(guān)鍵是要分類要分準，難點是分類．