Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑切AB=8，CD是弦，CD交AB于E，且E為OA的中點(diǎn)，∠BED=45°，
（1）求CE²+DE²的值；
（2）若E不是AO的中點(diǎn)，CE²+DE²的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥CD于F，連結(jié)OD，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CF=DF，易得OE=2，在Rt△OEF中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\sqrt{2}$，再利用勾股定理得DF=$\sqrt{14}$，則CF=$\sqrt{14}$，所以CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=32；
（2）設(shè)OE=a，與（1）一樣可得OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，則DF=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，CF=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，所以CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=32．

解答 解：（1）作OF⊥CD于F，連結(jié)OD，如圖，則CF=DF，
∵AB=8，E為OA的中點(diǎn)，
∴OE=2，
在Rt△OEF中，∵∠BED=45°，
∴OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\sqrt{2}$，
在Rt△ODF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴CF=$\sqrt{14}$，
∴CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=2×14+2×2=32；
（2）CE²+DE²的值不發(fā)生變化．
設(shè)OE=a，則OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在Rt△ODF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$
∴CF=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
∴CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=2×（16-$\frac{1}{2}$a²）+2×$\frac{1}{2}$a²=32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．