Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面積比是3：4：1，點M，N分別在AC，CD上，滿足AM：AC=CN：CD，并且B，M，N共線．求證：M與N分別是AC和CD的中點．

Answer 1

分析 延長DA、CB交于點F，如圖，設(shè)S_△ABC=S，則，S_△ABD=3S，S_△BCD=4S．根據(jù)高相等時面積比等于底的比可得$\frac{{S}_{△AFB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{FB}{BC}$=$\frac{{S}_{△DFB}}{{S}_{△DBC}}$，從而可得S_△AFB=S=S_△ABC，則有FB=BC．過點B作DF的平行線，交AC于M′，交DC于N′，根據(jù)平行線分線段成比例可得：AM′=CM′，DN′=N′C．然后分三種情況討論（①點M′在點M的左側(cè)，②點M′在點M的右側(cè)，③點M′與點M重合），運用反證法就可解決問題．

解答 證明：延長DA、CB，交于點F，如圖．
設(shè)S_△ABC=S，則，S_△ABD=3S，S_△BCD=4S．
∵$\frac{{S}_{△AFB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{FB}{BC}$，$\frac{{S}_{△DFB}}{{S}_{△DBC}}$=$\frac{FB}{BC}$，
∴$\frac{{S}_{△AFB}}{S}$=$\frac{{S}_{△AFB}+3S}{4S}$，
∴S_△AFB=S，
∴S_△AFB=S_△ABC，
∴FB=BC．
過點B作DF的平行線，交AC于M′，交DC于N′，
根據(jù)平行線分線段成比例可得：AM′=CM′，DN′=N′C．
①若點M′在點M的左側(cè)，
則$\frac{AM}{AC}$＞$\frac{AM′}{AC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CN}{CD}$＜$\frac{CN′}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{AC}$＞$\frac{1}{2}$＞$\frac{CN}{CD}$，
與條件“AM：AC=CN：CD”矛盾，故舍去；
②若點M′在點M的右側(cè)，
同理可得$\frac{AM}{AC}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{CN}{CD}$，
與條件“AM：AC=CN：CD”矛盾，故舍去；
③若點M′與點M重合，
則$\frac{AM}{AC}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{CN}{CD}$，符合條件，
此時M、N分別是AC、DC的中點．
綜上所述：M與N分別是AC和CD的中點．

點評 本題主要考查了高相等時面積比等于底的比、平行線分線段成比例等知識，運用反證法是解決本題的關(guān)鍵．