Question

11．如圖1，以平行四邊形ABCD的邊AD、BC為邊分別向外作等邊三角形ADE和BCF．

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）如圖2，如果再以AB、CD為邊分別向外作等邊三角形ABG和CDH，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，若四邊形EGFH為菱形，則四邊形ABCD還需要滿足什么條件？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定方法：兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形DEBF是平行四邊形．
（2）同理可證四邊形AGCH是平行四邊形，只要證明EF與GH互相平分即可．
（3）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EGFH是菱形，只要證明△EDH≌△FCH即可判斷．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠DCB，
∵以AD、BC為邊分別向外作等邊△ADE和等邊△BCF，
∴AD=DE=AE，BF=BC，
∴AE=CF，
∵∠EAB=∠DAB+∠DAE，∠DCF=∠DCB+∠BCF，
∴∠EAB=∠DCF，
在△EAB和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DCF（SAS），
∴BE=FD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．

（2）如圖2中，連接AH、CG、EF、AC、BD，

由（1）可知四邊形DEBF是平行四邊形，
∴EF與BD互相平分，
同理可證四邊形AGCH是平行四邊形，
∴AC與GH互相平分，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC與BD互相平分，
∴EF與GH互相平分，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（3）如圖3中，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EGFH是菱形．

理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∵∠EDA=∠HDC=∠HCD=∠BCF=60°，
∴∠EDH=∠HCF=150°，
在△EDH和△FCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠EDH=∠FCH}\\{DH=HC}\end{array}\right.$，
∴△EDH≌△FCH，
∴HE=HF，
∵四邊形EGFH是平行四邊形，
∴四邊形EGFH是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．