Question

3．某數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：
【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，若點E在弧AB上，F(xiàn)是DE上的一點，且DF=BE．試說明：△ADF≌△ABE；
【變式探究】如圖2，若點E在弧AD上，過點A作AM⊥BE，請說明線段BE、DE、AM之間滿足等量關(guān)系：BE-DE=2AM；
【解決問題】如圖3，在正方形ABCD中，CD=2$\sqrt{2}$，若點P滿足PD=2，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

分析 （1）中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明∠ADF=∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；
（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以AF=AE，因為AM⊥BE，所以FM=ME=AM，EF=2AM，EF=BE-BF=BE-DE，得出結(jié)論；
（3）由PD=2可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助（2）中結(jié)論，即可解決問題．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，
∠ABE與∠ADE都對應(yīng)弧AE，
∴∠ABE=∠ADE，
在△ADF和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADE}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；

（2）證明：在BE上取點F，使BF=DE，連接AF，
由（1）△ADE≌△ABF，
∴BF=DE，AE=AF，∠DAE=∠BAF，
在正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠DAE+∠DAF=90°，
∴∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形三角形，
∵AM⊥BE，
∴FM=ME=AM，
∴EF=2AM，
∵EF=BE-BF=BE-DE，
∴BE-DE=2AM；

（3）解：點A到BP的距離是$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$或$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$，
理由如下：
∵PD=2，
∴點P在以點D為圓心，2為半徑的圓上，
∵∠BPD=90°，
∴點P在以BD為直徑的圓上，
∴點P是這兩圓的交點，
①當(dāng)點P在如圖3①所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=2$\sqrt{2}$，∠BAD=90°，
∴BD=4．
∵DP=2，
∴BP=2$\sqrt{3}$，
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，
∴∠APB=∠ADB=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形，
又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，
∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD，
2$\sqrt{3}$=2AH+1，
∴AH=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$；
②當(dāng)點P在如圖3②所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②，
同理可得：BP=2AH-PD，
2$\sqrt{3}$=2AH-2，
∴AH=$\sqrt{3}$+1，
綜上所述：點A到BP的距離為$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，而通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問題是解決第（3）的關(guān)鍵．