Question

7．關(guān)于x的方程（k-1）x²+2kx+2=0．
（1）求證：無(wú)論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）設(shè)x₁，x₂是方程（k-1）x²+2kx+2=0的兩個(gè)根，記S=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$$+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+x₁+x₂，S的值能為2嗎？若能，求出此時(shí)k的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況討論：①當(dāng)k=1時(shí)，方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)k≠1時(shí)，方程是一元二次方程，所以證明判別式是非負(fù)數(shù)即可；
（2）由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-$\frac{2k}{k-1}$，x₁x₂=$\frac{2}{k-1}$，代入到$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$$+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+x₁+x₂=2中，可求得k的值．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，原方程可化為2x+2=0，解得：x=-1，此時(shí)該方程有實(shí)根；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）²-4（k-1）×2
=4k²-8k+8
=4（k-1）²+4＞0，
∴無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根，
綜上所述，無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）由根與系數(shù)關(guān)系可知，x₁+x₂=-$\frac{2k}{k-1}$，x₁x₂=$\frac{2}{k-1}$，
若S=2，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$$+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+x₁+x₂=2，即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+x₁+x₂=2，
將x₁+x₂、x₁x₂代入整理得：k²-3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能為2，此時(shí)k=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程的定義、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握方程的根與判別式間的聯(lián)系，及根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．