Question

10．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）△CDF可看成圖中哪個三角形通過旋轉(zhuǎn)變換得到的？寫出旋轉(zhuǎn)過程；
（3）若點G在AD上，且∠GCE=45°，試判斷線段GE，BE，GD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF；
（2）△CDF可以看成是△CBE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的；
（3）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
在△CBE與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；

（2）解：△CDF可以看成是△CBE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的；

（3）解：GE=BE+GD，理由：
由（1）得△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，CE=CF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+DCG=45°，
∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，
在△ECG與△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{GC=GC}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD．

點評 本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)，證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而得出線段GE，BE，GD之間的數(shù)量關(guān)系．