Question

17．定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)[2m，1-m，-1-m]的函數(shù)的一些結論：①當m=-3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；②當m=2時，函數(shù)圖象的對稱軸方程是x=-$\frac{1}{8}$；③當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于$\frac{3}{2}$；④當m＜0時，函數(shù)在x＜$\frac{1}{4}$時，y隨x的增大而增大．
其中正確的結論有①③④．（請?zhí)顚懰�有正確的序號）

Answer 1

分析 ①把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；
②首先求得對稱軸，比較即可；
③令函數(shù)值為0，求得與x軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；
④首先求得對稱軸，利用二次函數(shù)的性質解答即可；

解答 解：因為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]；
①當m=-3時，y=-6x²+4x+2=-6（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，頂點坐標是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；此結論正確；
②當m=2時，y=4x²-x-3的對稱軸是x=$\frac{1}{8}$，此結論錯誤；
③當m＞0時，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=$\frac{（m-1）±（m+3）}{4m}$，x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
|x₂-x₁|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，所以當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于$\frac{3}{2}$，此結論正確；
④當m＜0時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：$\frac{m-1}{4m}$，在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，因為當m＜0時，$\frac{m-1}{4m}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4m}$＞$\frac{1}{4}$，即對稱軸在x=$\frac{1}{4}$右邊，因此函數(shù)在x=$\frac{1}{4}$左邊y隨x的增大而增大，此結論正確，
故答案為：①③④．

點評 此題考查了二次函數(shù)的性質，頂點坐標，兩點間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征熟記二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．