Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AD上一點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊，使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)G處，延長(zhǎng)EG交BC于點(diǎn)F．
（1）點(diǎn)E可以是AD的中點(diǎn)嗎？為什么？
（2）當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時(shí)，
①求證：△ABD∽△DCB；
②設(shè)AD=a，AB=b，BC=c，求證：a²+b²=ac．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=EG，然后根據(jù)∠EGD=90°，可得ED＞EG=AE，可得E不可能是AD中點(diǎn)；
（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠BGE=∠BAD=90°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠BDC=∠BGF=90°，又AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，繼而可證明△ABD∽△DCB；
②根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例以及勾股定理得知識(shí)，可證明a²+b²=ac．

解答 解：（1）不可以，由折疊可得，AE=EG．
在Rt△DEG中，ED＞EG，即ED＞AE．
∴E不可能是AD中點(diǎn)；

（2）①∵點(diǎn)A折疊到點(diǎn)G，
∴∠BGE=∠BAD=90°，
∵四邊形EFCD為平行四邊形，
∴∠BDC=∠BGF=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴△ABD∽△DCB；
②∵△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CB}$，
∴BD²=AD•CB=ac，
又∵△ABD為Rt△ABD，
∴BD²=AD²+AB²=a²+b²，
∴a²+b²=ac．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題，涉及了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需仔細(xì)分析，認(rèn)真研究，結(jié)合圖形理清題目邊長(zhǎng)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題對(duì)同學(xué)們的能力要求較高．