Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2，DE=1，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，求出∠A+∠DBO=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠ODC=90°，求出∠BDC+∠ODB=90°，即可得出答案；
（2）求出∠A=∠DCE，根據(jù)相似三角形的判定得出△AEC∽△CED，得出比例式，打擾求出即可．

解答 （1）證明：
連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠DBO=90°，
∵CD切⊙O于D，
∴∠CDO=90°，
∴∠BDC+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠ODB，
∴∠BDC=∠A；


（2）解：∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{AE}{2}$，
∴AE=4，
∴AD=AE-DE=4-1=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．