Question

9．已知，四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上（P、G不與正方形頂點重合，且在CD的同側(cè)），PD=PG，DF⊥PG于點H，DF交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)EF．
（1）如圖1，當(dāng)點P與點G分別在線段BC與線段AD上時，若PC=1，計算出DG的長；
（2）如圖1，當(dāng)點P與點G分別在線段BC與線段AD上時，證明：四邊形DFEP為菱形；
（3）如圖2，當(dāng)點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，（2）的結(jié)論：四邊形DFEP為菱形是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作PM⊥DG于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由PD=PG得MG=MD，根據(jù)矩形的判定易得四邊形PCDM為矩形，則PC=MD，于是有DG=2PC；
（2）根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=AB，由四邊形ABPM為矩形得AB=PM，則AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根據(jù)“ASA”證明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形，加上DF=PD，則可判斷四邊形PEFD為菱形；
（3）與（1）中②的證明方法一樣可得到四邊形PEFD為菱形．

解答 （1）證明：作PM⊥DG于M，如圖1，
∵PD=PG，
∴MG=MD，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴PCDM為矩形，
∴PC=MD，
∴DG=2PC=2；
（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，
∵四邊形ABPM為矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠GMP}\\{AD=PM}\\{∠ADF=∠MPG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四邊形PEFD為平行四邊形，
∵DF=PD，
∴四邊形PEFD為菱形；
（3）解：四邊形PEFD是菱形．理由如下：
作PM⊥DG于M，如圖2，
與（1）一樣同理可證得△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四邊形PEFD為平行四邊形，
∵DF=PD，
∴四邊形PEFD為菱形．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形和正方形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；同時會運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利用三角形全等解決線段相等的問題．