Question

20．如圖1，在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，G是CD上一點(diǎn)，F(xiàn)是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BF=DG．
（1）求證：AG=AF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，G是CD上一點(diǎn)，∠EAG=45°，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EG，請(qǐng)?zhí)骄緼H與AD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖2，如果BE=3，DG=2，∠EAG=45°，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）延長(zhǎng)CB至F，使BF=DG，由（1）得AG=AF，根據(jù)題意證明∠FAE=45°，得到△FAE≌△GAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到答案；
（3）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，表示出EC和GC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：在△ABF和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DG}\\{∠ABF=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADG，
∴AG=AF；
（2）AH=AD，
證明：延長(zhǎng)CB至F，使BF=DG，
由（1）得，AG=AF，∠FAB=∠GAD，
∵∠EAG=45°，∴∠DAG+∠EAB=45°，
∴∠FAB+∠EAB=45°，即∠FAE=45°，
在△FAE和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠FAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△GAE，又AH⊥EG，AB⊥EF，
∴AH=AB，又AB=AD，
∴AH=AD；
（3）∵△FAE≌△GAE，∴EG=EF=FB+BE=5，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則EC=x-3，GC=x-2，
由勾股定理得，（x-3²）+（x-2）²=25，
解得，x=6，
則正方形ABCD的面積為6²=36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確找出輔助線(xiàn)、靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．