Question

10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BE為∠ABC的角平分線，BE交CD于點(diǎn)F，M為線段AC上一點(diǎn)，且AM=EC，直線MF與CB交于點(diǎn)N．求證：DE⊥DN．

Answer 1

分析 過(guò)E作EG⊥AB于G，連接BF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=GE，證得R_t△BGE≌R_t△BCE，得到BC=BG，通過(guò)△BGF≌△BCF，得到CF=GF，根據(jù)余角和外角的性質(zhì)得到∠CEF=∠CFE，推出CE=CF，求出四邊形CEGF是菱形，由菱形的性質(zhì)得到GF∥AC，求出四邊形AGFM是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN∥AB，由于△CMN∽△CAB，得到$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{BC}$，$\frac{CM}{CN}=\frac{CA}{BC}$，等量代換得到$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CD}$，證得△ADE∽△CND，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠EDA=∠CDN，由∠CDA=∠CDE+∠EDA=90°，于是得到結(jié)論．

解答 解：過(guò)E作EG⊥AB于G，連接BF，
∵BE為∠ABC的角平分線，∠C=90°，
∴CE=GE，
在R_t△BGE與R_t△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=GE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴R_t△BGE≌R_t△BCE，
∴BC=BG，
在△BGF與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BG}\\{∠CBF=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△BCF，
∴CF=GF，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠CEB=∠EBA+∠A，∠CFE=∠FBC+∠FCB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴CE=CF=GF=GE，
∴四邊形CEGF是菱形，
∴GF∥AC，
∵AM=CE，
∴AM=FG，
∴四邊形AGFM是平行四邊形，
∴MN∥AB，
∴CD⊥MN，
∴∠CMN=∠A，
∴△CMN∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{BC}$，$\frac{CM}{CN}=\frac{CA}{BC}$，
∵$\frac{CA}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CD}$，
∵∠A=∠DCN，
∴△ADE∽△CND，
∴∠EDA=∠CDN，
∵∠CDA=∠CDE+∠EDA=90°，
∴∠EDN=∠CDE+∠CDN=∠CDE+∠EDA=90°，
∴DE⊥DN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．