Question

7．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)矩形的判定得出AEPF是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．

解答 解：∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠EAF=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn)．
∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最�。�
∵$\frac{1}{2}$AP．BC=$\frac{1}{2}$AB．AC，
∴AP．BC=AB．AC．
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=$\frac{12}{5}$，
∴AM=$\frac{6}{5}$；
故答案為：$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出AP的最小值是關(guān)鍵．