Question

14．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ．
（1）填空：b=$\frac{1}{3}$，c=4；
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使△PQM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）如圖②，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0），線段PQ的中點(diǎn)為H，連接NH，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于直線NH的對(duì)稱點(diǎn)Q′恰好落在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-4）．將a=-$\frac{1}{3}$代入可得到拋物線的解析式，從而可確定出b、c的值；
（2）連結(jié)QC．先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，則PC=5-t，依據(jù)勾股定理可求得AC=5，CQ²=t²+16，接下來(lái)，依據(jù)CQ²-CP²=AQ²-AP²列方程求解即可；
（3）過(guò)點(diǎn)P作DE∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分別為D、E，MD交x軸與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，首先證明△PAG∽△ACO，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到PG=$\frac{4}{5}$t，AG=$\frac{3}{5}$t，然后可求得PE、DF的長(zhǎng)，然后再證明△MDP≌PEQ，從而得到PD=EQ=$\frac{4}{5}$t，MD=PE=3+$\frac{2}{5}$t，然后可求得FM和OF的長(zhǎng)，從而可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；
（4）連結(jié)：OP，取OP的中點(diǎn)R，連結(jié)RH，NR，延長(zhǎng)NR交線段BC與點(diǎn)Q′．首先依據(jù)三角形的中位線定理得到EH=$\frac{1}{2}$QO=$\frac{1}{2}$t，RH∥OQ，NR=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，則RH=NR，接下來(lái)，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明NH是∠QNQ′的平分線，然后求得直線NR和BC的解析式，最后求得直線NR和BC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-4）．將a=-$\frac{1}{3}$代入得：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4，
∴b=$\frac{1}{3}$，c=4．
（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ不可能是直角三角形．
理由如下：連結(jié)QC．



∵在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠PAQ、∠PQA始終為銳角，
∴當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，則∠APQ=90°．
將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，
∴C（0，4）．
∵AP=OQ=t，
∴PC=5-t，
∵在Rt△AOC中，依據(jù)勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依據(jù)勾股定理可知：CQ²=t²+16，在Rt△CPQ中依據(jù)勾股定理可知：PQ²=CQ²-CP²，在Rt△APQ中，AQ²-AP²=PQ²，
∴CQ²-CP²=AQ²-AP²，即（3+t）²-t²=t²+16-（5-t）²，解得：t=4.5．
∵由題意可知：0≤t≤4，
∴t=4.5不和題意，即△APQ不可能是直角三角形．
（3）如圖所示：

過(guò)點(diǎn)P作DE∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分別為D、E，MD交x軸與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，則PG∥y軸，∠E=∠D=90°．
∵PG∥y軸，
∴△PAG∽△ACO，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{AG}{OA}$=$\frac{AP}{AC}$，即$\frac{PG}{4}$=$\frac{AG}{3}$=$\frac{t}{5}$，
∴PG=$\frac{4}{5}$t，AG=$\frac{3}{5}$t，
∴PE=GQ=GO+OQ=AO-AG+OQ=3-$\frac{3}{5}$t+t=3+$\frac{2}{5}$t，DF=GP=$\frac{4}{5}$t．
∵∠MPQ=90°，∠D=90°，
∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，
∴∠DMP=∠EPQ．
又∵∠D=∠E，PM=PQ，
∴△MDP≌PEQ，
∴PD=EQ=$\frac{4}{5}$t，MD=PE=3+$\frac{2}{5}$t，
∴FM=MD-DF=3+$\frac{2}{5}$t-$\frac{4}{5}$t=3-$\frac{2}{5}$t，OF=FG+GO=PD+OA-AG=3+$\frac{4}{5}$t-$\frac{3}{5}$t=3+$\frac{1}{5}$t，
∴M（-3-$\frac{1}{5}$t，-3+$\frac{2}{5}$t）．
∵點(diǎn)M在x軸下方的拋物線上，
∴-3+$\frac{2}{5}$t=-$\frac{1}{3}$×（-3-$\frac{1}{5}$t）²+$\frac{1}{3}$×（-3-$\frac{1}{5}$t）+4，解得：t=$\frac{-65±5\sqrt{205}}{2}$．
∵0≤t≤4，
∴t=$\frac{-65+5\sqrt{205}}{2}$．
（4）如圖所示：連結(jié)OP，取OP的中點(diǎn)R，連結(jié)RH，NR，延長(zhǎng)NR交線段BC與點(diǎn)Q′．


∵點(diǎn)H為PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R為OP的中點(diǎn)，
∴EH=$\frac{1}{2}$QO=$\frac{1}{2}$t，RH∥OQ．
∵A（-3，0），N（-$\frac{3}{2}$，0），
∴點(diǎn)N為OA的中點(diǎn)．
又∵R為OP的中點(diǎn)，
∴NR=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，
∴RH=NR，
∴∠RNH=∠RHN．
∵RH∥OQ，
∴∠RHN=∠HNO，
∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分線．
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，把點(diǎn)A（-3，0）、C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得：m=$\frac{4}{3}$，n=4，
∴直線AC的表示為y=$\frac{4}{3}$x+4．
同理可得直線BC的表達(dá)式為y=-x+4．
設(shè)直線NR的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{4}{3}$x+s，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入得：$\frac{4}{3}$×（-$\frac{3}{2}$）+s=0，解得：s=2，
∴直線NR的表述表達(dá)式為y=$\frac{4}{3}$x+2．
將直線NR和直線BC的表達(dá)式聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+2}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{6}{7}$，y=$\frac{22}{7}$，
∴Q′（$\frac{6}{7}$，$\frac{22}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵；求得點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵；證得NH為∠QHQ′的平分線是解答問(wèn)題（4）的關(guān)鍵．