Question

20．如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，直角∠MAN的兩邊AM，AN重疊在正方形的兩鄰邊上，現(xiàn)將直角∠MAN繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90）．

（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，將正方形的中心O到AM、AN的距離分別記為x、y，則下列各式的值是確定的有④（填序號(hào)）
①x+y  ②|x-y|③xy  ④x²+y²
（2）①如圖3，當(dāng)0＜α＜45時(shí)，AM、AN與BC、CD的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F，求證：BE=DF；
②如圖4，當(dāng)45＜α＜90時(shí)，AM、AN與BC、CD的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F，AM與CD相交于點(diǎn)P，求△APF與△CPE面積的差．
（3）①如圖5，當(dāng)0＜α＜45時(shí)，AM、AN與直線BD分別相交于點(diǎn)G、H，求證：$\frac{BG}{DH}$=$\frac{AG}{AH}$；
②如圖6，當(dāng)45＜α＜90時(shí)，AM、AN的反向延長(zhǎng)線與直線BD分別相交于點(diǎn)G，①中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)直接作出判斷，不用說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理和正方形的性質(zhì)得出x²+y²=2即可；
（2）①利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明△ABE與△ADF全等，即可得到BE=DF；
②利用①的結(jié)論和三角形面積的關(guān)系進(jìn)行證明即可；
（3）①將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADQ，證明△QDH與△GAH相似，進(jìn)而證明即可；
②利用①中結(jié)論得出即可．

解答 解：（1）在圖中作出正方形的中心O到AM、AN的距離分別記為x、y，如圖1：

在Rt△AOH中，OA²=x²+y²，
即可得：${x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}=2$，
故答案為：④；
（2）①∵∠BAE=90°-∠DAM=∠DAF，
∴在△ABE與△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
②同①可證：BE=DF，連接AC，如圖2：

S_△APF-S_△CPE=S_△ACF-S_△ACE=$\frac{1}{2}$CF•AD-$\frac{1}{2}$CE•AB=CF-CE=CD+DF-（BE-BC）=CD+BC=4；
（3）①將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADQ，如圖3：

∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45°，
∴∠QDH=90°=∠GAH，
∴△QDH∽△GAH，
∴$\frac{QD}{DH}=\frac{AG}{AH}$，
∵BG=QD，
∴$\frac{BG}{DH}=\frac{AG}{AH}$；
②當(dāng)45＜α＜90時(shí)，AM、AN的反向延長(zhǎng)線與直線BD分別相交于點(diǎn)G，H，①中的結(jié)論還成立，理由如下：
將△ABH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADQ，如圖4：

∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45°，
∴∠QDH=90°=∠GAH，
∴△QDH∽△GAH，
∴$\frac{QD}{DH}=\frac{AG}{AH}$，
∵BG=QD，
∴$\frac{BG}{DH}=\frac{AG}{AH}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查幾何變換問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析解答．