Question

17．某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點P_k（x_k，y_k）處，其中x₁=1，y₁=1，當k≥2時，$\left\{\begin{array}{l}{x_k}={x_{k-1}}+1-5（[\frac{k-1}{5}]-[\frac{k-2}{5}]）\\{y_k}={y_{k-1}}+[\frac{k-1}{5}]-[\frac{k-2}{5}]\end{array}\right.$，[a]表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2011棵樹種植點的坐標為（1，403）．

Answer 1

分析 根據(jù)規(guī)律找出種植點的橫坐標與縱坐標的通式，然后再把2010代入進行計算即可求解．

解答 解：根據(jù)題意，x₁=1，
x₂-x₁=1-5[$\frac{1}{5}$]+5[$\frac{0}{5}$]，
x₃-x₂=1-5[$\frac{2}{5}$]+5[$\frac{1}{5}$]，
x₄-x₃=1-5[$\frac{3}{5}$]+5[$\frac{2}{5}$]，
…
x_k-x_k-1=1-5[$\frac{k-1}{5}$]+5[$\frac{k-2}{5}$]，
∴x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）+（x₄-x₃）+…+（x_k-x_k-1），
=1+（1-5[$\frac{1}{5}$]+5[$\frac{0}{5}$]）+（1-5[$\frac{2}{5}$]+5[$\frac{1}{5}$]）+（1-5[$\frac{3}{5}$]+5[$\frac{2}{5}$]）+…+（1-5[$\frac{k-1}{5}$]+5[$\frac{k-2}{5}$]），
∴x_k=k-5[$\frac{k-1}{5}$]，
當k=2011時，x₂₀₁₁=2011-5[$\frac{2010}{5}$]=2011-5×402=1，
y₁=1，
y₂-y₁=[$\frac{1}{5}$]-[$\frac{0}{5}$]，
y₃-y₂=[$\frac{2}{5}$]-[$\frac{1}{5}$]，
y₄-y₃=[$\frac{3}{5}$]-[$\frac{2}{5}$]，
…
y_k-y_k-1=[$\frac{k-1}{5}$]-[$\frac{k-2}{5}$]，
∴y_k=1+[$\frac{k-1}{5}$]，
當k=2011時，y₂₀₁₁=1+[$\frac{2010}{5}$]=1+402=403，
∴第2011棵樹種植點的坐標為（1，403）．
故答案為：（1，403）．

點評 本題考查了坐標位置的確定，根據(jù)題目條件找出橫坐標與縱坐標的通項公式是解題的關(guān)鍵，規(guī)律性較強，難度較大．