Question

5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經(jīng)過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45°，DE交直徑AB于點F．
（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AE=2，sin∠ADE=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求OF及EF的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠AED=90°，則OD⊥AB，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥DC，所以O(shè)D⊥DC，則根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）作AH⊥EF于H，連結(jié)BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，∠ADE=∠ABE，由三角函數(shù)求出AB=4$\sqrt{2}$，得出OA=2$\sqrt{2}$，求出AH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，由△AHF∽△DOF，得出$\frac{AH}{DO}=\frac{HF}{OF}$，得出OF=2HF，在Rt△AHF中，由勾股定理求出HF，得出OF，EF=EH+HF，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖1所示，
∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴CD為⊙O的切線；
（2）作AH⊥EF于H，連結(jié)BE，如圖2所示，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，而AE=2，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴OA=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∵△AHF∽△DOF，
∴$\frac{AH}{DO}=\frac{HF}{OF}$，
即$\frac{HF}{OF}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
∴OF=2HF，
∴AF=OA-OF=OA-2HF，
在Rt△AHF中，AH²+FH²=AF²，
∴（$\sqrt{2}$）²+HF²=（2$\sqrt{2}$-2HF）²，
解得：HF=$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{14}}{3}$或$\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{14}}{3}$（舍去），
∴OF=2HF=$\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{14}}{3}$，
∴EF=EH+HF=$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{14}}{3}$=$\frac{7\sqrt{2}-\sqrt{14}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定定理、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形等知識；本題綜合性強，有一定難度．