Question

1．閱讀下列材料并解答：
對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為＜x＞，
即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果n-$\frac{1}{2}≤x＜n+\frac{1}{2}$，則＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
試解決下列問題：
（1）填空：＜π＞=3（π為圓周率）；
（2）求滿足＜x＞=$\frac{4}{3}$x的所有非負(fù)實(shí)數(shù)x的值；
（3）設(shè)n為常數(shù)，且為正整數(shù)，函數(shù)y=x²-x+$\frac{1}{4}$的自變量x在n≤x＜n+1范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值y為整數(shù)的個(gè)數(shù)記為a；滿足＜$\sqrt{k}$＞=n的所有整數(shù)k的個(gè)數(shù)記為b．求證：a=b=2n．

Answer 1

分析 （1）π的十分位為1，應(yīng)該舍去，所以精確到個(gè)位是3；
（2）$\frac{4}{3}$x為整數(shù)，設(shè)這個(gè)整數(shù)為k，易得這個(gè)整數(shù)應(yīng)在應(yīng)在k-$\frac{1}{2}$和k+$\frac{1}{2}$之間，包括k-$\frac{1}{2}$，不包括k+$\frac{1}{2}$，求得整數(shù)k的值即可求得x的非負(fù)實(shí)數(shù)的值；
（3）易得二次函數(shù)的對(duì)稱軸，那么可求得二次函數(shù)的函數(shù)值在相應(yīng)的自變量的范圍內(nèi)取值，進(jìn)而求得相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)；利用所給關(guān)系式易得$\sqrt{k}$的正整數(shù)個(gè)數(shù)為2n，由此得證．

解答 （1）解：因?yàn)棣小?.14，所以四舍五入后的個(gè)位數(shù)為3．
故答案是：3；

（2）解：∵x≥0，$\frac{4}{3}$x為整數(shù)，設(shè)$\frac{4}{3}$x=k，k為整數(shù)，
則x=$\frac{3}{4}$k，
∴＜$\frac{3}{4}$k＞=k，
∴k-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{4}$k≤k+$\frac{1}{2}$，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$．

（3）證明：∵函數(shù)y=x2-x+$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）2，n為整數(shù)，
當(dāng)n≤x＜n+1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴（n-$\frac{1}{2}$）²≤y＜（n+1-$\frac{1}{2}$）²，即（n-$\frac{1}{2}$）²≤y＜（n+$\frac{1}{2}$）²，①
∴n²-n+$\frac{1}{4}$≤y＜n²+n+$\frac{1}{4}$，
∵y為整數(shù)，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n個(gè)y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜$\sqrt{k}$＞=n，
則n-$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{k}$＜n+$\frac{1}{2}$，
∴（n-$\frac{1}{2}$）²≤k＜（n+$\frac{1}{2}$）²，③
比較①，②，③得：a=b=2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題．解決本題的關(guān)鍵是理解：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果n-$\frac{1}{2}$≤x＜n+$\frac{1}{2}$，則＜x＞=n．