Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角形APQ．當點P運動到原點O處時，記點Q的位置為B，則當點P從（-2，0）運動到（2，0）時，點Q運動的路徑長為4．

Answer 1

分析 如圖1所示：先證明△APO≌△AQB（SAS），從而得到∠ABQ=∠AOP=90°，于是可知點Q的軌跡為一條經(jīng)過點B且于AB垂直的線段，如圖2所示先求得點Q與點Q′的坐標，最后利用兩點之間的線段公式求得QQ′的長即可．

解答 解：如圖1所示：

當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB．
在△APO和△AQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°．
∴當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值90°．
∴點Q的軌跡為一條經(jīng)過點B且于AB垂直的線段．
如圖2所示：過點O作QM⊥PA，垂足為M，過點Q′作Q′N⊥AP′，垂足為N．

當點P的坐標為（-2，0）時，PA=$\sqrt{O{P}^{2}+O{A}^{2}}=2\sqrt{2}$．
∵△APQ為等邊三角形，
∴MQ=QP•sin60°=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$．
∵△APO為等腰直角三角形，
∴MQ=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
∴OQ=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．
∴點Q的坐標為（$\sqrt{3}-1$，1$-\sqrt{3}$）．
∵OQ′=ON+NQ′，
∴OQ′=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
∴點Q′的坐標為（1$+\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）．
∴QQ′=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查的是點的軌跡問題，解答本題主要應用了等邊三角形的性質(zhì)、兩點間的距離公式、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得∠ABQ為定值90°，從而得到點Q的運動路徑是一條經(jīng)過點B且于AB垂直的線段是解題的關鍵．