Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸于點(diǎn)B（6，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），直線AB與直線OA：y=$\frac{1}{2}$x相交于點(diǎn)A，動點(diǎn)M在線段OA和射線AC上運(yùn)動．
（1）求直線AB的解析式．
（2）求△OAC的面積．
（3）是否存在點(diǎn)M，使△OMC的面積是△OAC的面積的$\frac{1}{4}$？若存在求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）聯(lián)立直線AB和直線OA解析式可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得△OAC的面積；
（3）當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的$\frac{1}{4}$時，根據(jù)面積公式即可求得M的橫坐標(biāo)，然后代入解析式即可求得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+6；
（2）聯(lián)立直線OA和直線AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（4，2），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；
（3）由題意可知S_△OMC=$\frac{1}{4}$S_△OAC=$\frac{1}{4}$×12=3，
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，則有S_△OMC=$\frac{1}{2}$×OC•|t|=3|t|，
∴3|t|=3，解得t=1或t=-1，
當(dāng)點(diǎn)t=-1時，可知點(diǎn)M在線段AC的延長線上，
∴y=-（-1）+6=7，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，7）；
當(dāng)點(diǎn)t=1時，可知點(diǎn)M在線段OA或線段AC上，
在y=$\frac{1}{2}$x中，x=1可得y=$\frac{1}{2}$，代入y=-x+6可得y=5，
∴M的坐標(biāo)是（1，$\frac{1}{2}$）；
在y=-x+6中，x=1則y=5，
∴M的坐標(biāo)是（1，5）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$）或（1，5）或（-1，7）．

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中求得A點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．