Question

13．已知邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E．F分別是CD．BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P．Q分別從B、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)分別以2個(gè)單位/秒.1個(gè)單位/秒的速度，沿BA，F(xiàn)C的方向侈動(dòng)，點(diǎn)M是PC上一點(diǎn)，且∠EMC=∠EQK，探究CM，CP的值的變化．
（1）甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)F重合時(shí)，在圖 ①中畫出相應(yīng)的圖形，則CM•CP=8；
（2）乙學(xué)學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，上述結(jié)論不變，請(qǐng)你在圖②畫出相應(yīng)的圖形并幫助乙說(shuō)明理由；
（3）在甲、乙同學(xué)探究的基礎(chǔ)上，在圖③中，請(qǐng)你對(duì)CM•CP 的值的變化惰況進(jìn)行猜想，并對(duì)你的猜想給以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而得出MC=2，PC=BC=4，求出答案即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而得出MC=$\sqrt{2}$，PC=AC=4$\sqrt{2}$，求出答案即可；
（3）設(shè)t秒時(shí)，則QC=2-t，AP=4-2t，求出線段比然后可證明△CQE∽△APD，推出∠EMC=∠PDC，然后再證明△CME∽△CDP，利用線段比可證得CM•CP=CD•CE．

解答 解：（1）如圖1所示：此時(shí)點(diǎn)M，F(xiàn)，Q重合，B與P重合，
由題意可得：MC=2，PC=BC=4，
故CM•CP=2×4=8；
故答案為：8；

（2）如圖2所示：此時(shí)點(diǎn)C，Q重合，A與P重合，
∵EC=2，∠ACE=45°，
∴MC=$\sqrt{2}$，
∵AB=BC=4，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
故CM•CP=$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8；

（3）CM•CP的值是一個(gè)定值．
理由：如圖3，連接DP，設(shè)t秒時(shí)，
∵FQ=t，BP=2t，
∴QC=2-t，AP=4-2t，
∴$\frac{QC}{AP}$=$\frac{CE}{AD}$，
∵∠QCE=∠A=90°，
∴△CQE∽△APD．
∴∠CQE=∠APD，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴∠APD=∠PDC，
∵∠EMC=∠EQC，
∴∠EMC=∠PDC，
∵∠PCD=∠PCD，
∴△CME∽△CDP，
∴$\frac{CM}{CD}$=$\frac{CE}{CP}$，
∴CM•CP=CD•CE=4×2=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定，線段的比以及勾股定理等知識(shí)，利用已知△CQE∽△APD進(jìn)而得出△CME∽△CDP是解題關(guān)鍵．