Question

8．在正方形ABCD中，△DCE是等邊三角形．①求∠AED的度數(shù)；②若OF=1，求AB的長．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正方形好等邊三角形的性質(zhì)求出AD=DE，∠ADE=150°，即可得出∠AED的度數(shù)；
②先求出∠AFO=∠DFE=60°，在直角三角形中由銳角三角函數(shù)求出OA，再根據(jù)勾股定理求出AB．

解答 解：①∵在正方形ABCD中，△DCE是等邊三角形，
∴AB=AD=CD，CD=DE，∠ADC=90°，∠CDE=60°，BD平分∠ADC，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠BDC=45°，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°；
②∵∠EDF=60°+45°=105°，∠AED=15°，
∴∠DFE=180°-105°-15°=60°，
∴∠AFO=∠DFE=60°，
∵AC⊥BD，
∴∠AOF=90°，
∴OA=OF•tan60°=$\sqrt{3}$，
∴OB=OA=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的運用；本題難度較大，特別是②中，通過求出60°的銳角解決問題．