Question

19．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=6，BC=24，sinB=$\frac{4}{5}$，點P在邊BC上，BP=8，點E在邊AB上，點F在邊CD上，且∠EPF=∠B，過點F作FG⊥PE交線段PE于點G，設BE=x，F(xiàn)G=y．
（1）求AB的長；
（2）當EP⊥BD時，求y的值；
（3）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過點A作AP⊥BC交BC于點P，DF⊥BC交BC于點F，等腰梯形ABCD的性質(zhì)，與sinB=$\frac{4}{5}$，求得AB即可；
（2）當EP⊥BC時，得出PF⊥CD，利用sinB=$\frac{4}{5}$，∠EPF=∠B=∠BCD，求得FG即可；
（3）過點E作EM⊥BC交BC于點M，利用勾股定理求得EP，進一步利用銳角三角函數(shù)的邊關系得出答案即可．

解答 解：（1）如圖1，

過點A作AP⊥BC交BC于點P，DF⊥BC交BC于點F，
∵AB=CD，AD=6，BC=24，
∴BE=（24-6）÷2=9，
∵sinB=$\frac{4}{5}$，
∴AB=9÷3×5=15；
（2）如圖2，

當EP⊥BC時，
△BEP，△FGP，△PCF都是直角三角形，
因此FG=FP•$\frac{4}{5}$=PC•$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$=（24-8）×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{256}{25}$；
（3）如圖3，

過點E作EM⊥BC交BC于點M，
則EP=$\sqrt{（8-\frac{3}{5}x）^{2}+（\frac{4}{5}x）^{2}}$，
PF=$\frac{16}{x}$•EP=$\frac{16}{x}$•$\sqrt{（8-\frac{3}{5}x）^{2}+（\frac{4}{5}x）^{2}}$，
y=$\frac{4}{5}$•$\frac{16}{x}$•$\sqrt{（8-\frac{3}{5}x）^{2}+（\frac{4}{5}x）^{2}}$
=$\frac{64}{5x}$•$\sqrt{\frac{9}{25}{x}^{2}-\frac{48}{5}x+64+\frac{16}{25}{x}^{2}}$
=$\frac{64\sqrt{25{x}^{2}-240x+1600}}{25x}$（$\frac{48}{5}$≤x≤15）

點評 此題考查等腰梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義，勾股定理，利用解決等腰梯形作輔助線的常用方法：作高解決問題，銳角函數(shù)建立直角三角形來解決問題．