Question

10．已知：AB是⊙O的直徑，C為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的割線，與⊙O交于D、E兩點(diǎn)，OF是△BOD的外接圓O₁的直徑，連接CF并延長(zhǎng)交⊙O₁于點(diǎn)G．求證：O、A、E、G四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 連接AD，DG，GA，GO，DB，EA，EO，由等腰三角形的性質(zhì)得出OF平分∠DOB，即∠DOB=2∠DOF，由圓周角定理得出∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DOB，得出∠DAB=∠DOF，證出∠DAB=∠DGF，得出G、A、C、D四點(diǎn)共圓，得出∠AGC=∠ADC，證出∠AGO=∠BDC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠BDC=∠EAO，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EAO=∠AEO，證出∠AGO=∠AEO，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接AD，DG，GA，GO，DB，EA，EO，如圖所示：
∵OF是等腰三角形DOB的外接圓的直徑，
∴OF平分∠DOB，即∠DOB=2∠DOF，
又∵∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∴∠DAB=∠DOF，
又∵∠DGF=∠DOF，
∴∠DAB=∠DGF，
∴G、A、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠AGC=∠ADC①，
∵∠AGC=∠AGO+∠OGF=∠AGO+$\frac{π}{2}$②，∠ADC=∠ADB+∠BDC=$\frac{π}{2}$+∠BDC③，
由①②③得：∠AGO=∠BDC④，
∵B，D，E，A四點(diǎn)共圓，
∴∠BDC=∠EAO⑤，
又∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO⑥，
由④⑤⑥得：∠AGO=∠AEO，
∴O、A、E、G四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題是四點(diǎn)共圓綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，證明B，D，E，A四點(diǎn)共圓是解決問題的關(guān)鍵．