Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程，然后解方程求出b、c即可；
（2）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），再利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B（2，0），則可根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x-2，根據(jù)三角形面積公式可判斷PD∥BC，于是可設(shè)直線PD的解析式為y=x+p，然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出p得到直線PD的解析式為y=x-$\frac{11}{4}$，最后把P（t，0）代入可求出t的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=x²-x-2；
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$；
（2）y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
則D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
當(dāng)y=0時(shí)，x²-x-2=0，解得x₁=2，x₂=-1，則B（2，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（2，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=0}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-2，
∵△BDP和△CDP的面積相等，
∴PD∥BC，
設(shè)直線PD的解析式為y=x+p，
把D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得$\frac{1}{2}$+p=-$\frac{9}{4}$，解得p=-$\frac{11}{4}$，
∴直線PD的解析式為y=x-$\frac{11}{4}$，
把P（t，0）代入得t-$\frac{11}{4}$=0，解得t=$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），通過解方程ax²+bx+c=0可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．