Question

20．習(xí)題課中，老師給出了這樣一個(gè)題目：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x²+ax（a＞0），點(diǎn)A（n，y₁），B（n+1，y₂），C（n+2，y₃）都在這個(gè)二次函數(shù)圖象上，其中n為正整數(shù)．
教師：現(xiàn)在有以下幾個(gè)結(jié)論：
①此二次函數(shù)與坐標(biāo)軸有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；
②若y₁=y₂則a必為奇數(shù)；
③若a=11，且y₁≤y₂≤y₃，則n可取大于等于5的正整數(shù)．
④若a=4，不存在正整數(shù)n，使得△ABC是以AC為底邊的等腰三角形．
請(qǐng)你判斷結(jié)論的真假，并說明理由．最后簡(jiǎn)單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法．

Answer 1

分析 ①分別令y=0，x=0求得相應(yīng)的x、y的值來證明該命題是證明題；
②將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，利用y₁=y₂得到用n表示a的式子，即可得到答案；
③將a=11代入解析式后，由題意列出不等式組，求得此不等式組的正整數(shù)解；
④本問為存在型問題．如解答圖所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)，判定點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．于是得到n+1=$\frac{a}{2}$，從而可以求出n=$\frac{a}{2}$-1．

解答 解：①真命題 證明：令y=0得x₁=0，x₂=a，則與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（0，0）、（a，0）；
令x=0得y=0，則與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．
 綜上得，函數(shù)與坐標(biāo)軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．

②真命題．證明如下：
∵點(diǎn)A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在二次函數(shù)y=-x²+ax（a＞0）的圖象上，
∴y₁=-n²+an，y₂=-（n+1）²+a（n+1）
∵y₁=y₂，
∴-n²+an=-（n+1）²+a（n+1）
整理得：a=2n+1
∴a必為奇數(shù)；

③假命題．證明如下：
當(dāng)a=11時(shí)，∵y₁≤y₂≤y₃
∴-n²+11n≤-（n+1）²+11（n+1）≤-（n+2）²+11（n+2）
化簡(jiǎn)得：0≤10-2n≤18-4n，
解得：n≤4，
∵n為正整數(shù)，
∴n=1、2、3、4．
故該命題為假命題；

④假命題
方法一：舉反例：當(dāng)n=1時(shí)，存在這樣的等腰三角形，故該命題是假命題．
方法二：證明：假設(shè)存在，則BA=BC，如右圖所示．
過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AD⊥BN于點(diǎn)D，CE⊥BN于點(diǎn)E．
∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，
∴AD=CE=1．
在Rt△ABD與Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠ABD=∠CBE，即BN為頂角的平分線．
由等腰三角形性質(zhì)可知，點(diǎn)A、C關(guān)于BN對(duì)稱，
∴BN為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，
∴n+1=$\frac{a}{2}$，
∴n=$\frac{a}{2}$-1．
∴a為大于2的偶數(shù)，存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，n=$\frac{a}{2}$-1．
∴當(dāng)a=4時(shí)，n=1，即原命題錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度，是一道好題．