Question

6．如圖，點O在∠APB的平分線PN上，以點O為圓心的⊙O分別交直線PN于點M、N，那么$\widehat{AM}$與$\widehat{BM}$相等嗎？并說明理由．

Answer 1

分析 依題意得到：MN是直徑，則$\widehat{AM}$+$\widehat{AN}$=$\widehat{BM}$+$\widehat{BN}$，欲證明$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，只需推知$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$．

解答 解：$\widehat{AM}$與$\widehat{BM}$相等，理由如下：
由題意知，MN是直徑．
則$\widehat{AM}$+$\widehat{AN}$=$\widehat{BM}$+$\widehat{BN}$，
∴點O在∠APB的平分線PN上，AP=BP，
∴∠AON=∠BON，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$．

點評 本題考查了圓周角、弧、弦的關系．正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．