Question

13．給出一個定義：如果兩個二次項系數(shù)為1的一元二次方程有一個相等的實數(shù)根，且另外兩個根互為相反數(shù)，那么這兩個一元二次方程稱為“友好方程”．
例如：方程x²-2x-3=0的兩個根為x₁=-1，x₂=3；方程x²+4x+3=0的兩個根為x₁=-1，x₂=-3，則方程x²-2x-3=0與x²+4x+3=0就是“友好方程”．
（1）請你寫出方程的x²-2x-8=0的“友好方程”；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程x²+（b-1）x+b=0與x²+cx+c-1=0是“友好方程”，求c的值；
（3）請寫出一個方程與其”友好方程“之間存在的關(guān)系（寫出兩種即可）．

Answer 1

分析 （1）求出方程x²-2x-8=0，根據(jù)新定義得出其“友好方程”的兩根的兩種情況，由根寫出方程即可；
（2）解方程x²+cx+c-1=0可得x₁=c-1，x₂=-1，由新定義知兩方程有公共根，據(jù)此可分①x=-1是兩方程的公共根、②x=1-c是方程的公共根，兩種情況分別求解可得；
（3）由“友好方程”定義結(jié)合（1）中的實例即可得．

解答 解：（1）解方程x²-2x-8=0得：x=-2或x=4，
則其“友好方程”的兩根為：-2、-4或2、4，
若“友好方程”的兩根為-2、-4，則該方程為（x+2）（x+4）=0，即x²+6x+8=0，
若“友好方程”的兩根為2、4，則該方程為（x-2）（x-4）=0，即x²-6x+8=0；

（2）由方程x²+cx+c-1=0得：x₁=c-1，x₂=-1，
①若x=-1是兩方程的公共根，代入方程x²+（b-1）x+b=0得：
（-1）²+（b-1）（-1）+b≠0，
則x=-1不是兩方程公共解；
②若x=1-c是方程的公共根，則x=1是方程x²+（b-1）x+b=0的根，
代入，得：1+b-1+b=0，
解得：b=0，
則方程可化為x²-x=0，解得：x₁=1，x₂=0，
∴1-c=0，
∴c=1；

（3）①一個方程與其“友好方程”的常數(shù)項互為相反數(shù)；
②一個方程有兩個“友好方程”，這兩個“友好方程”的常數(shù)項相等，一次項互為相反數(shù)．

點評 本題主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟練掌握“友好方程”的定義是解題的關(guān)鍵．