Question

19．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AD=AE，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF=∠ABE，求證：
（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG•DF=DB•EF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AD=AE得出∠ADE=∠AED，故∠BDE=∠CED，再由∠EDF=∠ABE可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)△DEF∽△BDE得出$\frac{DB}{DE}$=$\frac{DE}{EF}$，∠BED=∠DFE，故DE²=DB•EF．再由∠GDE=∠EDF得出△GDE∽△EDF，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠BDE=∠CED．
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；

（2）∵△DEF∽△BDE，
∴$\frac{DB}{DE}$=$\frac{DE}{EF}$，∠BED=∠DFE，
∴DE²=DB•EF．
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF，
∴$\frac{DG}{DE}$=$\frac{DE}{DF}$，
∴DE²=DG•DF，
∴DG•DF=DB•EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．