Question

19．如圖，以△ABC邊AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在DC上，BF交⊙O于點(diǎn)E，BE=EF，∠BAC=2∠CBF，CG⊥BF于點(diǎn)G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若∠C=60°，GC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接AE，根據(jù)圓周角定理求得∠AEB=90°，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求得AB=AF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求得∠BAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，從而求得∠BAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，即可求得∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)已知求得CF=4，設(shè)AB=AF=x，z則AC=x+4，通過∠C的正弦函數(shù)即可求得AB，繼而求得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連接AE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵BE=EF，
∴AB=AF，
∴∠BAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°，
即∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵FG⊥BC，∠C=60°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG=4，
∵AF=AB，
設(shè)AB=AF=x，z則AC=x+4，
∵∠C=60°，
∴sin∠C=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{x}{x+4}$，解得x=8$\sqrt{3}$+12，
∴AB=8$\sqrt{3}$+12，
∴⊙O的半徑為（4$\sqrt{3}$+6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，直角三角函數(shù)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．