Question

11．在平面直角坐標系中，函數(shù)y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0），y₂=$\frac{-3}{x}$（x＜0）的圖象如圖所示，點A，B分別是y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0），y₂=$\frac{-3}{x}$（x＜0）圖象上的點，連接OA，OB．
（1）若OA與x軸所成的角為45°，求點A的坐標；
（2）如圖1，當∠AOB=90°，求$\frac{OA}{OB}$的值；
（3）設函數(shù)y₃=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象與y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0）的圖象關于x軸對稱，點B的橫坐標為-2，過點B作BE⊥x軸，點F是y軸負半軸上的一個動點，函數(shù)y₃=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上是否存在一點G，使以點O、F、G為頂點的三角形與△OBE相似？如果存在，求出點F的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設A（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，得出ab=12，進而得出a=b=2$\sqrt{3}$，就可求得A的坐標；
（2）過A、B分別作y軸的垂線，垂足為C、D，通過證得△AOC∽△OBD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得；
（3）分四種情況分別討論求得．

解答 解：（1）設A（a，b），
∵OA與x軸所成的角為45°，
∴a=b，
∵點A在y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0）圖象上，
∴ab=12，
∵a=b=2$\sqrt{3}$，
∴A點的坐標為（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；

（2）如圖1，過A、B分別作y軸的垂線，垂足為C、D，
∵∠AOB=90°，
∴∠COB+∠AOD=90°，
∵∠CBO+∠COB=90°，
∴∠CBO=∠AOD，
∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}×12}{\frac{1}{2}×3}}$=2；

（3）∵點B的橫坐標為-2，
∴B（-2，$\frac{3}{2}$），
∵函數(shù)y₃=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象與y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0）的圖象關于x軸對稱，
∴y₃=$\frac{-12}{x}$，（x＞0），
設G（a，-$\frac{12}{a}$），
①當∠OFG=90°，∠OGF=∠OBE時，如圖2①，
∴△OBE∽△GOF，
∴$\frac{a}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{12}{a}}{2}$，解a=3，
∴-$\frac{12}{a}$=-4，
∴F（0，-4）；
②當∠OFG=90°，∠OFG=∠OBE時，如圖2①，
∴△OBE∽△GOF，
∴$\frac{\frac{12}{a}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{a}{2}$，解得a=4，
∴-$\frac{12}{a}$=-3，
∴F（0，-3）；
③當∠OGF=90°，∠GOF=∠OBE時，如圖2②，
∴△OBE∽△OGH，
∴$\frac{\frac{12}{a}}{2}$=$\frac{a}{\frac{3}{2}}$，
∴a=3，
∴G（3，-4）
∵GH²=OH•FH，
∴FH=$\frac{9}{4}$，
∴OF=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∴F（0，-$\frac{25}{4}$）；
④當∠OGF=90°，∠FOG=∠OBE時，如圖2②
∴△OBE∽△GHO，
∴$\frac{\frac{12}{a}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{a}{2}$，解得a=4，
∴G（4，-3）
∵GH²=OH•FH，
∴FH=$\frac{16}{3}$，
∴OF=3+$\frac{16}{3}$=$\frac{25}{3}$，
∴F（0，-$\frac{25}{3}$）；

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，分類討論思想的運用是解題的關鍵．